Matemáticas PI Sta. Victoria.: Matriz inversa

Dada una matriz A de orden n, si existe otra matriz B de orden n, tal que el producto de ambas sea la matriz identidad de orden n, se dice que B, y se denota como A^-1, es la matriz inversa de A. Dicho de otra forma: dos matrices de orden n son inversas si su producto es la matriz unidad

A·A^-1= A^-1·A = I

Una matriz unidad o identidad es una matriz cuadrada escalar cuyos elementos en la diagonal principal son todos 1 y el resto de elementos son todos 0.

Ejemplo:

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & {0} & {0} \\ {0} & 1 & {0} \\ {0} & {0} & 1 \end{array} \right) </pre> $

Si una matriz posee matriz inversa se dice que es inversible o regular. En caso contrario recibe el nombre de singular.

Para que una matriz tenga inversa son necesarias 2 condiciones:

1ª.- Que sea cuadrada. Es decir que tenga el mismo nº de filas que de columnas.
2ª.- Que su determinante no sea cero. El determinante de una matriz cuadrada de orden $n$ es igual a la suma de los productos de los elementos de una línea o columna cualquiera por sus adjuntos respectivos. Es decir:

$\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{i1} \cdot A_{i1} + a_{i2} \cdot A_{i2} + \ldots + a_{in} \cdot A_{in}$
$\left| \, \mathbf{A} \, \right| \, = \, a_{1j} \cdot A_{1j} + a_{2j} \cdot A_{2j} + \ldots + a_{nj} \cdot A_{nj}$

Así, dada la matriz:

su determinante

se calcularía así:

|A|=[(1·5·7)+(-1·3·0)+(4·2·3)] - [(4·5·-1)+(1·3·0)+(7·3·2)] = (35+0+24)-(-20+42+0)=37

Cálculo de la matriz inversa.-

La matriz inversa de ua matriz dada puede calcularse de distintas formas:

A).- Mediante un sistema de ecuaciones lineales.-

Dada la matriz:

$\mathbf{A} = \left( <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> \right)$
hacemos

$\mathbf{A}^{-1} = \left( <pre>\begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> \right)$

como

$I = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{-1} \Rightarrow \left( <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> \right) \cdot \left( <pre>\begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> \right) = \left( <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> \right)$

operamos:

$\left( <pre>\begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> \right) = \left( <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> \right) \Leftrightarrow \left\{ <pre>\begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> \right.$

y despejamos:

$\Rightarrow \left\{ <pre>\begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> \right.$

B).- Mediante determinantes.

Tomando como ejemplo la misma matriz que en apartado anterior,

$\mathbf{A} = \left( <pre>\begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> \right)$

1-Hallamos su determinante.

|A|= 7-6= 1

Comprobamos que existe matriz inversa ya que su determinante es distinto de cero y se trata de una matriz cuadrada.

2. Hacemos la traspuesta de la matriz, es decir, cambiamos filas por columnas y viceversa.

3. adjunta de la traspuesta

Para que su explicación quede mas clara, lo realizaré en diferentes pasos:

4. por último, siguiendo la fórmula, debemos multiplicar la matriz in versa de la traspuesta de A, por 1/6. Por lo que finalmente la matriz inversa quedaría de este modo:

Enlaces:
Cálculo de la matriz inversa