Cálculo del rango por determinantes

El cálculo del rango de una matriz por determinantes se basa en estos dos resultados recíprocos, consecuencias de las propiedades de los determinantes:

• Si las filas o columnas de una matriz cuadrada son linealmente dependientes, su determinante es 0.
• Si el determinante de una matriz cuadrada es 0, las filas o columnas son linealmente dependientes.

El proceso para calcular el rango de una matriz general de dimensión m x n es progresivo, y, para evitar cálculos, conviene suprimir:

• Las filas o columnas nulas
• Las filas o columnas proporcionales
• Las filas o columnas linealmente dependientes.

Sea la matriz:

1.Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 = c1 + c2

2.Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.

|2|=2≠0

 

 3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

4.  Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo

 Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por tanto Rango (B) = 2.

Cálculo de determinantes. Adjuntos

Posteriormente le cambiamos el signo a los resultados obtenidos:

Cálculo de determinantes. Regla de Sarrus

La regla de Sarrus es un método fácil para memorizar y calcular el determinante de una matriz 3×3.

Considérese la matriz 3×3:

Sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer los productos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:
det M= [(a1 • b2 •c3) + (a2 • b3 • c1) + (b1 • c2 • a3) ] - [ (a3 • b2 • c1) + (b1 • a2v• c3) + (b3 • c2 • a1)]

Un proceso similar basado en líneas diagonales sucede con las matrices 2x2:

det B=(a1•b2) – (b1•a2)

Ejercicio propuesto para hallar su determinante mediante la regla de Sarru:

Propiedades de los determinantes

1. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

2. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

 det (k·F1, F2, F3...) = k·det (F1, F2, F3...)

3. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, entonces se verifica:

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. |A|=0    Si:

a- Todos los elementos de una línea son nulos.   Det(F1,F2,0)=0

b- Posee dos líneas iguales.    Det(F1,F2,F3)=0

c- Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.  det(F1,Kf1,F3)=0

d.- Si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de las restantes filas o columnas, su determinante es cero:

Det(F1,F2,aF2 + bF1)=0

Este resultado se obtiene aplicando las propiedades  1,2 y 5b.

Determinantes de segundo y tercer orden

Un determinante es una expresión algebraica o numérica asociada a una matriz cuadrada.

-Determinante de segundo orden:

El determinante podemos expresarlo de dos formas diferentes:  det(A) ó |A|

-Determinante de tercer orden: