Vectores

Espacio: Conjunto de puntos en 3D

Espacio afín: Conjunto de vectores en el espacio

Espacio afín euclídeo: Espacio afín en el cual hemos definido el producto escalar.

Los vectores equipolentes se diferencian en el pinto de aplicación

Dependencia lineal

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Det( u, v, w ) -> si = 0; dependiente ->  rango 1 y 2

                                si ¹ 0; independiente -> rango 3

Ejemplo: Sean u (3,4,2), v (2,6,-8), w (0,5,7)

Ya que  det( u, v, w ) ¹ 0; rango 3; independientes.

Base vectorial: Deben ser linealmente independientes

Producto escalar

u×v×w -> Sólo se puede hacer producto escalar entre dos vectores, por tanto:

u×v = (Xu×Xv) + (Yu×Yv) + (Zu×Zv)

Producto vectorial

Es una operación entre dos vectores de un espacio euclídeo tridimensional que da como resultado un vector ortogonal a los dos vectores originales.

u^v ->Sólo se puede hacer producto vectorial entre dos vectores, por tanto:

Producto mixto

Es una operación entre tres vectores que combina el producto escalar con el producto vectorial para obtener un resultado escalar.

Ejemplo: Halla el producto mixto de los vectores:

u(3,0,2) 

v(1,1,3)             

w(-1,3,2)                  

 Producto mixto: = -29

Ejercicios de vectores

1)Hallar un vector que sea perpendicular a los vectores siguientes: u(5,-1,2), v(-1,2,-2), w(x,y,z)

Al ser perpendiculares v×w = 0 y u×v = 0

5x-y + 2z =0

-x + 2y-2z =0

Resolvemos el sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas (CI)

z = t

x = -(2/9)t

y = (8/9)t

2) Hallar el área del triángulo determinado por los vectores u(3,7,-6), v(4,1,-2)

El área del paralelogramo es |u^v|, por lo que el área del triángulo será la mitad del paralelogramo

Primero averiguamos el producto vectorial u^v = (-8,-18,-25) y le hacemos el módulo:

3) Hallar el volumen del paralelepípedo definido por u(3,-5,1), v(7,4,2), w(0,6,1)

Para hallar el volumen, basta con hacer el producto mixto = 53 u³

4) Halla el valor de x para que los vectores u(3,-5,1), v(7,4,2), w(1,14,x) sean coplanarios

Al ser coplanarios (u,v,w) = 0

 5) Dados los vectores u(3,3,2), v(5,-2,1), w(1,-1,0)

a) Halla la operación siguiente -2u+v-4w

-2(3,3,2) + (5,-2,1) -4(1,1,0) = (-5,-4,-3)

b) Calcula a y b tales que u = av + bw

3 = 5a + b                   a=2

3 =-2a–b                    b=7

6) sean los vectores u (0,1,0) v(2,1,-1) w(2,3,-1)

a) ¿Son linealmente dependientes? 

 

b) ¿Para qué valores de a el vector (4,a+3,-2) puede expresarse como combinación lineal de u, v, w?

Al ser los tres dependientes habrá que buscar los coeficientes de la combinación lineal respecto a dos vectores

c) Calcula un vector unitario y perpendicular a u y v

u (0,1,0)

 v(2,1,-1)

Hay que buscar un vector (por ejemplo, z) que sea perpendicular a u y v, por lo que será el producto vectorial de u y v:

 

Hallar un vector unitario en una dirección se denomina normalizar un vector (dividir su unitario)